МОУ «Хвастовичская средняя общеобразовательная школа»

 

 

 

 

«Фальшивое» правило

или гадальный способ решения текстовых задач

 (исследовательская работа по математике)

 

 

 

                                                           

 

Выполнила:

Герасимова Кристина

учащаяся 9 А класса

Руководитель:

Гашникова Валентина Васильевна

                                                        учитель математики

Хвастовичи

2012 год

 

 

 

Оглавление.

           Введение………………………………………………………………………………3-4

           Глава 1. «Фальшивое» правило……………………….……………………...……...5-7

                       1.1.Из истории развития «фальшивого» правила ...……………..……..…..5-6

                      1.2.Алгебраическое обоснование «фальшивого» правил ……………….…6-7

           Глава 2. Использование разных методов решения текстовых задач…………..….8-12

2.1.Решение текстовых задач методом «фальшивого» правила……….….8-11

                        2.2. Решение текстовых задач с помощью уравнений .…………….……..11-12

           Глава 3. Сравнительный анализ методов решения задач.………………...….….....13

           Заключение……………………………………………………………….……..….…14

           Список литературы…………………………………………………...………............15

           Приложения………………………………………………………………….…..…...16-17

          Приложение №1. Фрагмент «Арифметики» Магницкого...……..…..…..…16

          Приложение № 2. Дополнительная задача. .………………..….....………...17

 

 

 

Введение.

Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить ее.

Без сильного желания решить трудную задачу невозможно,

Но при наличии такового – возможно. Где есть желание, найдется путь!

Пойя  Д.

            По моим наблюдениям, при обучении математике большое место отводится решению текстовых задач. Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило».

        С самой глубокой древности и до XIX в руководствах по арифметике занимал важное место так называемый метод ложного положения или метод предположений. Долгое время этот метод заменял применение уравнений  при решении задач. Л.Ф. Магницкий называет раздел своей "Арифметики", трактующей этот вопрос "О правилах фальшивых или гадательных" (Приложение 1).

        Метод фальшивого правила до открытия отрицательных чисел, был единственным способом решения текстовых задач на протяжении трёх столетий.

В «Арифметике» имеется много задач, которые решаются по этому правилу. Его значимость заключалась в том, что таким образом можно было решить любую задачу практического содержания.

 Чтобы глубже понять сущность и возможность применения в настоящее время этого правила, необходимо сравнить его с современными способами решения задач.

Актуальность работы заключается в том, что, зная различные способы решения задач практического содержания, среди них можно выбрать наиболее рациональный и доступный в современном образовании.

           Объектная область: математика.

           Объект исследования: текстовые задачи.

           Предмет исследования: «фальшивое» правило.

            Гипотеза: если при решении текстовых задач использовать «фальшивое» правило, то  решение будет громоздким и долгим.

           Цель: доказать нерациональность использования «фальшивого» правила при решении текстовых задач.

           Задачи.

• Изучить литературу по данной теме.

• Решить текстовые задачи с помощью «фальшивого» правила

• Решить текстовые задачи с помощью линейного уравнения.

• Провести сравнительный анализ методов решения текстовых задач.

              Методы исследования: сравнение, обобщение.

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  Глава 1. «Фальшивое» правило.

  1.1.Из истории «фальшивого» правила

               Существуют две разновидности правила ложных положений: правило одного ложного положения и правило двух ложных положений.

  Правило одного ложного положения - это простейший метод   решения  линейных уравнений. Он был известен с древних времен. Сущность этого метода в том, что неизвестной величине дают произвольное значение, пользуясь которым вычисляют значение одной из данных величин, устанавливают ошибку. Так как в задачах, решаемых этим способом, данная величина, значение которой определяется через значение неизвестной, есть линейная функция неизвестной, то приращение этой величины пропорционально приращению неизвестной. Пользуясь этим, исправляют значение неизвестной.  Правило двух ложных положений было изобретено индусами, однако, скорее всего, было позаимствовано у китайских ученых. От индусов оно перешло к арабам, которые доставили ему очень распространенное применение как в собственной математической литературе под именем «правила чашек весов», так и в литературе Европы. Вот так звучало правило: «Рисуй весы и пиши над точкой опоры результат, который получается после указанных в задаче действий над неизвестным числом. Оба ложных положения пиши над чашками весов, погрешности «больше» пиши под весами, «меньше» - над весами. Ложные положения и погрешности умножить накрест. Бери разности произведений, если погрешности находятся по одну сторону от весов, бери их суммы, если погрешности стоят по разные стороны».

  Пример оформления  решения  для «правила чашек весов»

   

            Правило двух ложных положений стало важной вехой в развитии арифметики как науки. Магницкий трактует «фальшивое» правило так:

  Зело бо хитра, есть сия часть,

  Яко можеши ею все класть

  Не токмо что есть во гражданстве,

  Но и высших наук в пространстве,

  Яже числятся в сфере неба,

  Якоже мудрым есть потреба.

       Содержание стихов можно передать так: «Эта часть арифметики весьма хитра. При помощи её можно вычислить не только то, что понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы «высшие», которые встают перед «мудрыми»»

  Вывод: правило распространялось и использовалось в мире на протяжении тридцати веков. Многие ученые из разных стран приняли в этом участие: древнекитайские, египетские, индийские, арабские, европейские, русские.

                                                                                    

  1.2. Алгебраическое обоснование «фальшивого» правила.

           Обоснуем сущность «фальшивого» правила на примере решения линейного уравнения:
ax+b=0(1).
         Для решения этого уравнения предположим, что искомое x=x1. Подставив x1 в уравнение (1), получим:
ax1+b=n1 ,(2)
где n1 – первая ошибка правой части уравнения (1).
       Теперь предположим, что x=x2 , тогда, подставив x2 в уравнение(1),
получим:
ax2+b=n2 .(3)

где n2- вторая ошибка правой части уравнения (1).
      Вычтем почленно из уравнения (2) уравнение (3) и получим:
a(x1 –x2 )=n1 –n2 .(4)
      Теперь обе части уравнения (2) умножим на x2 , а обе части уравнения(3) на x1 и затем почленно вычтем полученные уравнения:
b(x2 –x1 )=n1 x2 – n2 x1 .(5)
       Из уравнения (4) найдём a, а из уравнения (5) найдём b. Так как из исходного уравнения (1) x=-b/a, то получим:
x=(n1 x2 – n2 x1 ):(n1 –n2 ).
      Получили следующее правило, которое можно сформулировать следующим образом:
«Возьми для неизвестного число, которое ты хочешь, назови его первое положение и поступай согласно условию задачи. Если оно подходит к условию, то это и есть неизвестное. Но если оно отклоняется в ту или иную сторону, назови разницу первым отклонением. Затем возьми другое число и назови вторым положением; если оно не удовлетворяет условию, то оно даёт второе отклонение. После этого умножай первое положение на второе отклонение и назови первым результатом; потом второе положение умножай на первое отклонение, это есть второй результат. Если оба отклонения в одно и то же время больше или оба меньше, дели разность двух результатов на разность двух отклонений; если дело обстоит иначе, дели сумму двух результатов на сумму отклонений, частное и есть искомое число».    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2.Использование разных методов решения текстовых задач.

 

2.1. Решение текстовых задач методом фальшивого правила

       Решим задачу, используя «фальшивое» правило, из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого.

        Задача Магницкого. Спросил некто учителя: «Сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придёт ещё столько же учеников, сколько имею, и полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100».

       Решение:

      Магницкий дает такой способ решения.

      1). Делаем первое предположение: учеников было 24.

Тогда по смыслу задачи к этому числу надо прибавить «столько, полстолька, четверть столька и 1», то есть  имели бы:

24+24+12+6+1=67, то есть на 100—67=33 меньше (чем требовалось по условию задачи), в этом случае число 33 называем «первым отклонением».

2. Делаем второе предположение: учеников было 32, тогда имели бы:

32+32+16+8+1=89, то есть на 100—89=11 меньше это «второе отклонение».

На случай, если при обоих предположениях получилось меньше, дается правило: помножить первое предположение на второе отклонение, а второе предположение на первое отклонение, отнять от большего произведения меньшее и разность разделить на разность отклонений:

.

Учеников было 36.

Таким же правилом надо руководствоваться, если при обоих предположениях получилось больше, чем полагается по  условию. Например:

Первое предположение: 52, тогда имеем 52+52+26+13+1=144.

Получили на 144–100=44 больше (первое отклонение).

Второе предположение: 40, имеем: 40+40+20+10+1=111.

Получили на 111–100=11 больше (второе отклонение).

.

Если при одном предположении получим больше, а при другом меньше, чем требуется по условию задачи, то нужно при указанных выше вычислениях брать не разности, а суммы. Например:

Первое предположение: 52, тогда имеем 52+52+26+13+1=144.

Получили на 144–100=44 больше (первое отклонение).

Второе предположение: 24, тогда имеем 24+24+12+6+1=67.

Получили на 100-67=33 меньше(второе отклонение).

 

 Решим задачу, используя «фальшивое» правило, из учебного пособия Олехника С. Н. «Старинные занимательные задачи» – 3-е изд.

         Задача 2. Найти такое число, что если к нему добавить третью часть и от полученной суммы отнять её шестую часть, то будет 100.

         Решение:

          Первая возможность (результат двух вычислений оказывается больше данного числа).

          1. Предположим, что неизвестное число есть 144.

Проделаем с ним описанные в задаче операции: находим третью часть: ∙144=48; к неизвестному числу прибавляем третью часть: 144+48=192; находим шестую часть полученного числа: ∙192=32; от полученной суммы отнимаем её шестую часть: 192-32=160; получаем, что 160≠100.

         Вывод: результат вычислений больше 100.

        2. Предположим, что неизвестное число есть 108. Проделаем с ним описанные в задаче операции:

Находим третью часть: ∙108=36; к неизвестному числу прибавляем третью часть:

108+36=144; находим шестую часть полученного числа: ∙144=24; от полученной суммы отнимаем её шестую часть: 144-24=120; получаем, что 120≠100.

      Вывод: результат вычислений больше 100.

     3. По результатам двух неудачных попыток можно найти искомое число.

Вычисляем, на сколько мы ошиблись:

      1 случай: 160 – 100 = 60;

 

 

 

 

Найдём разность произведений:

6480 – 2880 = 3600 и разность ошибок: 60 – 20 = 40;

Разделим разность произведений на разность ошибок: 3600 : 40 = 90.

Значит, искомое число равно 90.

 

       Вторая возможность (результат одного из вычислений оказывается больше, а другого меньше данного числа).

      1. Предположим, что это число есть 72. Проделаем с ним описанные в задаче операции:

Находим третью часть: 1/3∙72=24; к неизвестному числу прибавляем третью часть:72+24=96; находим шестую часть полученного числа: 1/6∙96=16; от полученной суммы отнимаем её шестую часть: 96-16=80; получаем, что 80≠100.

         Вывод: результат вычислений меньше 100.

         2. Предположим, что это число есть 99. Проделаем с ним описанные в задаче операции: Находим третью часть: 1/3∙99=33; к неизвестному числу прибавляем третью часть: 99+33=132; находим шестую часть полученного числа: 1/6∙132=22; от полученной суммы отнимаем её шестую часть: 132-22=110; получаем, что 110≠100.

        Вывод: результат вычислений больше 100.

        3. По результатам двух неудачных попыток можно найти искомое число.

Вычисляем, на сколько мы ошиблись:

 

1 случай: 100-80=20;

 

Найдём сумму произведений:

1980+720=2700 и сумму ошибок: 20+10=30;

Разделим сумму произведений на сумму ошибок: 2700:30=90.

Значит, искомое число равно 90.

 

           Третья возможность (результат двух вычислений оказывается меньше данного числа).

     1. Предположим, что неизвестное число есть 81.

Проделаем с ним описанные в задаче операции: находим третью часть: 1/3∙81=27;

к неизвестному числу прибавляем третью часть: 81+27=108; находим шестую часть полученного числа: 1/6∙108=18; от полученной суммы отнимаем её шестую часть: 108-18=90; получаем, что 90≠100.

       Вывод:  результат вычислений меньше 100.

          2. Предположим, что неизвестное число есть 72. Проделаем с ним описанные в задаче операции:

Находим третью часть: 1/3∙72=24; к неизвестному числу прибавляем третью часть: 72+24=96; находим шестую часть полученного числа: 1/6∙96=16; от полученной суммы отнимаем её шестую часть: 96-16=80; получаем, что 80≠100.

          Вывод: результат вычислений меньше 100.

Вычисляем, на сколько мы ошиблись:

1 случай: 90 – 100 = – 10;

3. По результатам двух неудачных попыток можно найти искомое число.

Перемножим числа: 81 • (– 20) = – 1620; и 72 • (– 10) = – 720; найдём разность произведений: – 1620 + 720 = – 900 и разность ошибок: -20+10=-10; разделим разность произведений на разность ошибок: -900 / (-10)=90. Значит, искомое число равно 90.          Ответ: искомое число 90.

Вывод: При решении задач из разных источников использовалось «фальшивое» правило, которое, чтобы применить, необходимо было  изучить.

 

2.2. Решение текстовых задач с помощью уравнений.

       Решим задачу Магницкого с помощью уравнения:

       Задача Магницкого. Спросил некто учителя: «Сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил : «Если придёт ещё столько же учеников, сколько имею, и полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100».

Решение: Пусть  х- кол-во учеников в классе. Тогда получим уравнение:

х+ х+  х+ х+ 1= 100

2  х+1=100

2  х=99

х= 36

Ответ: 36 учеников.

 Решим задачу из учебного пособия Олехника С. Н. «Старинные занимательные задачи» – 3-е изд., используя метод составления уравнения.

    Задача 2. Найти такое число, что если к нему добавить третью часть и от полученной суммы отнять её шестую часть, то будет 100.

 Решение. Пусть x – искомое число. Тогда его 3 часть равна x/3 . Сумма числа и его третьей части равна x+x/3=4x/3. От полученной суммы отнимем её шестую часть и получим: 4x/3-1/6∙4x/3=10x/9 и это по условию задачи равно 100.

Составляем уравнение и решаем его: 10x/9=100; x=90.

Ответ: 90-искомое число.

Вывод: для решения данных задач потребовалось умение решать линейные уравнения с дробными коэффициентами.

Текстовые задачи можно решать и с помощью систем линейных уравнений (Приложение 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3. Сравнительный анализ методов решения задач.

          Решив задачи  из «Арифметики» Магницкого и из учебного пособия Олехника С. Н.     «Старинные занимательные задачи» – 3-е изд.,  используя как метод составления уравнения, так и метод «фальшивого» правила, можно сделать сравнительный анализ этих методов в виде таблицы:

План сравнения

   «Фальшивое» правило

   Современный метод

Время, затраченное на решение задачи

13 мин.

4 мин.

Рациональность

Длинные, громоздкие вычисления

Короткие, легкие для понимания вычисления

Сложность

Сложный алгоритм действий

Решается одним уравнением.

Мыслительные операции

Рассуждения ведутся по образцу

Развивается логическое мышление

 

       Вывод:

1.Время на решение задачи, используя «фальшивое» правило тратится намного больше, чем на решение задач с помощью уравнений (почти в 3 раза больше).

2. Решая  задачи  по правилу двух ложных положений, получаются  длинные и громоздкие вычисления. Результат  решения, конечно, получается верным. Решая задачи с помощью уравнений, вычисления получаются намного короче, проще.

3. Использование метода двух ложных положений для решения текстовых задач предполагает три возможности. При этом нужно пользоваться четким алгоритмом, который довольно сложен для запоминания. Таким образом, способ решения задач, предложенный Магницким, основан на сложном алгоритме действий. Метод решения задач с помощью уравнений намного проще.      

4. Рассуждения при решении задач с помощью «фальшивого» правила ведутся по образцу в отличие от современного способа, который развивает логическое мышление.                          

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

В данной работе рассмотрены разные способы решения текстовых задач: методом «фальшивого» правила и с помощью уравнений. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью мы обучаемся работать с величинами, постигаем  взаимосвязи между ними, получаем опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач. Текстовые задачи  развивают смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, готовят нас к дальнейшему обучению.

Еще один момент, который невозможно обойти, когда мы говорим о решении задач. Обучение во многом напоминает этапы развития человечества, поэтому использование старинных задач и разнообразных арифметических способов их решения позволяет вести обучение математике в историческом контексте, что повышает мотивацию учения, развивает творческий потенциал.

  Использование разнообразных старинных способов решения текстовых задач не только обогащают опыт мыслительной деятельности, но и позволяют осваивать важное культурно-историческое наследие человечества, связанное с поиском разнообразных способов решения задач.

В ходе проведенной работы было выяснено, что существует метод решения текстовых задач, который называется «фальшивое» правило или гадальный способ. Решать текстовые задачи таким методом неудобно, так как тратится много времени и решение более громоздкое, чем решение задач с помощью линейного уравнения. Решив несколько задач из разных источников с помощью линейного уравнения и используя «фальшивое» правило, доказано, что метод ложного положения нерационален, значит, выдвинутая гипотеза подтвердилась. В наше время предпочтение отдаётся способу решения задач с помощью линейного уравнения, так как он легче для понимания и запоминания.

 

 

 

                                             

                                               Список литературы.

1. Андронов И.К. Первый учитель математики российского юношества Леонтий Филиппович Магницкий // Математика в школе. 1969. № 6.

2. Баранов П.Арифметика Магницкого – Изд. П. Баранова – Москва – 1914.–124 c.

3. Глейзер Г. И. История математики в школе. Пособие для учителей. – М.: «Просвещение», 1981. – 239 с.

4. Гнеденко Б.В. и др. Энциклопедический словарь юного математика.

-М.: «Педагогика», 1985 – 349 с.

5. Новожилова М. М. и др. Как корректно провести учебное исследование: от замысла к открытию. – М.: «Знание», 2008. – 160 с.

6. Олехник С. Н. и др. Старинные занимательные задачи – 3-е изд. – М.: «Дрофа», 2006. – 173 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение.

Приложение № 1.

Фрагмент «Арифметики» Магницкого, посвященный применению пятерного правила.

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 2.

Дополнительная задача.

Задача . Три человека беседуют. Первый, обращаясь к двум другим, говорит: «Если бы я взял из ваших денег по половине, то у меня было бы 17 рублей». Второй же, обращаясь к первому и третьему, сказал, что если бы они дали ему по одной трети своих денег, то у него также стало бы 17 рублей. На что третий ответил, что если бы они дали ему одну четвертую своих денег, то у него стало бы 17 рублей. Сколько денег имеет каждый?

Решение: Предположим, что у первого из беседующих было 8 рублей. Тогда половина суммы денег второго и третьего равна 17 – 8 = 9, то есть у второго и третьего человека вместе 18 рублей, а всего вместе денег у них 18 + 8 = 26 (рублей). После того как первый и третий собеседник дадут второму 13 имеющихся у них денег, у второго станет 13 от 26 и ещё 23 своих денег. Таким образом, у второго человека 32∙17-263=252 (рублей), тогда у третьего 26-8-252=112 (рублей). Если теперь первый и второй дадут третьему человеку по 14 имеющихся у них денег, то у того станет 112+14∙8+252=858, что на 518 рублей меньше, чем должно быть.

Не угадали, результат вычислений меньше 17. Предположим, что у первого из беседующих было 6 рублей. Тогда половина суммы денег второго и третьего равна 17 – 6 = 11, то есть у второго и третьего человека вместе 22 рубля, а всего вместе денег у них 22 + 6 = 28 (рублей). После того как первый и третий собеседник дадут второму 13 имеющихся у них денег, у второго станет 13 от 28 и ещё 23 своих денег. Таким образом, у второго человека 32∙17-283=232 (рублей), тогда у третьего 28-6-232=212 (рублей). Если теперь первый и второй дадут третьему человеку по 14 имеющихся у них денег, то у того станет 212+14∙6+232=1198, что на 178 рублей меньше, чем должно быть. Не угадали, результат вычислений меньше 17.

Нарисуем схему:

 

Перемножим числа: 8 • 178=17; и 6 • 518=1534;

Найдём разность произведений: 1534-17=854 и разность ошибок: 518-178=174; Разделим разность произведений на разность ошибок: 854 : 174=5. Значит, у первого из беседующих было 5 рублей. Тогда половина суммы денег второго и третьего равна 17 – 5 = 12, то есть у второго и третьего человека вместе 24 рубля, а всего вместе денег у них 24 + 5 = 29 (рублей). После того как первый и третий собеседник дадут второму 13 имеющихся у них денег, у второго станет 13 от 29 и ещё 23 своих денег. Таким образом, у второго человека 32∙17-293=222 =11(рублей), а у третьего 29-5-11=13 (рублей). Если теперь первый и второй дадут третьему человеку по 14 имеющихся у них денег, то у того станет 13+14∙5+11=17, как и говорится в условии задачи.

Ответ: у первого беседующего было 5 рублей, у второго 11 рублей, у третьего 13 рублей.

Задача . Три человека беседуют. Первый, обращаясь к двум другим, говорит: «Если бы я взял из ваших денег по половине, то у меня было бы 17 рублей». Второй же, обращаясь к первому и третьему, сказал, что если бы они дали ему по одной трети своих денег, то у него также стало бы 17 рублей. На что третий ответил, что если бы они дали ему одну четвертую своих денег, то у него стало бы 17 рублей. Сколько денег имеет каждый?

Решение. Пусть у первого человека было x рублей, у второго y рублей, а у третьего z рублей. Составим систему уравнений:

x+y2+z2=17,x3+z3+y=17,x4+y4+z=17; и решим эту систему: 2x+y+z=34,x+3y+z=51,x+y+4z=68;

Из второго уравнения вычтем первое и получим: -x+2y=17;

Первое умножим на 4 и вычтем третье, получим: 7x+3y=68; теперь решим систему уравнений -x+2y=17,7x+3y=68; -7x+14y=119,7x+3y=68; 17y=187; y=11;

-x+2y=17, если y=11, то -x+22=17; x=5;

2x+y+z=34, если x=5;y=11, то z=13.

Ответ: у первого беседующего было 5 рублей, у второго было 11 рублей, у третьего беседующего было 13 рублей.

Вывод: для решения данной задачи потребовались умения: составить и решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными с дробными коэффициентами.